1) Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 записали в системе счисления с основанием...

Давайте решим каждый из ваш запросов по очереди.

Задача 1

Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

1. Сначала найдем значение выражения: [ 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 ] Заменим степени:

   • (27 = 3^3), тогда (27^4 = (3^3)^4 = 3^{12})
   • (9 = 3^2), тогда (9^5 = (3^2)^5 = 3^{10})
   • (3^8) уже в нужной форме
   • (25) это константа

   Подставляем: [ 3^{12} - 3^{10} + 3^8 - 25 ]

2. Далее, мы можем преобразовать это выражение, используя свойства степеней: [ 3^{12} - 3^{10} + 3^8 - 25 = 531441 - 59049 + 6561 - 25 = 531441 - 59049 + 6561 - 25 = 478928 + 6536 = 485464 ]

3. Теперь нужно перевести (485464) в систему с основанием 3:

   • Делим (485464) на (3), получаем частное (161821) и остаток (1).
   • Делим (161821) на (3), получаем частное (53940) и остаток (1).
   • Продолжаем делить, пока не получим полное разложение числа на основание (3).

4. Получившееся разложение: [ 485464{10} = 220000000001{3} ] Наша запись в системе с основанием 3 содержит только одну цифру "2".

Задача 2

Значение арифметического выражения: 3∙16^8 – 4^5 + 3 в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

1. Выражение: [ 3 \cdot 16^8 - 4^5 + 3 ] Заменим степени:

   • (16 = 2^4), тогда (16^8 = (2^4)^8 = 2^{32})
   • (4 = 2^2), тогда (4^5 = (2^2)^5 = 2^{10})

   Подставляем: [ 3 \cdot 2^{32} - 2^{10} + 3 ]

2. Преобразуем выражение: [ 3 \cdot 4294967296 - 1024 + 3 = 12884901888 - 1024 + 3 = 12884900867 ]

3. Переводим (12884900867) в систему с основанием 4:

   • Делим (12884900867) на (4), и так далее по аналогии с предыдущей задачей.

4. Получившееся разложение: [ 12884900867{10} = 3031111111113{4} ] В этой записи содержится шесть цифр "3".

Задача 3

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4^1024 + 8^1025 – 2^1026 – 140?

1. Переведем все в степени двойки:

   • (4 = 2^2), тогда (4^{1024} = 2^{2048})
   • (8 = 2^3), тогда (8^{1025} = 2^{3075})
   • (2^{1026}) уже в нужной форме

   Выражение: [ 2^{2048} + 2^{3075} - 2^{1026} - 140 ]

2. Самой большой степенью является (2^{3075}), она доминирует в выражении. Мы знаем, что (2^{2048}) и (2^{1026}) много меньше по сравнению с (2^{3075}), и их влияние на конечный результат минимально.

3. При вычитании (2^{1026}) и (140) от такого большого числа, как (2^{3075}), они уменьшат лишь несколько последних битов, оставив большую часть нулей нетронутой.

4. Поэтому число значащих нулей в двоичной записи будет равно (3074) (все биты, кроме старшего).

Это решение задач подробно объясняет, как были получены ответы и какие математические преобразования использовались для этого.

1) Для начала вычислим значение арифметического выражения 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25:

27^4 = 531441 9^5 = 59049 3^8 = 6561

Теперь подставим полученные значения в выражение:

531441 - 59049 + 6561 - 25 = 499928

Теперь запишем полученное значение в системе счисления с основанием 3:

499928 = 2∙3^5 + 2∙3^4 + 1∙3^3 + 1∙3^2 + 2∙3^1

Таким образом, в записи значения арифметического выражения содержится 3 цифры «2».

2) Вычислим значение арифметического выражения 3∙16^8 – 4^5 + 3:

16^8 = 4294967296 4^5 = 1024

Подставим полученные значения в выражение:

3∙4294967296 - 1024 + 3 = 12884901875

Теперь запишем полученное значение в системе счисления с основанием 4:

12884901875 = 3∙4^12 + 3∙4^8 + 3∙4^4 + 3

Таким образом, в записи значения арифметического выражения содержится 4 цифры «3».

3) Вычислим значение выражения 4^1024 + 8^1025 – 2^1026 – 140:

4^1024 = 2^2048 8^1025 = 2^3072 2^1026 = 2^1026

Подставим полученные значения в выражение:

2^2048 + 2^3072 - 2^1026 - 140 = 2^2048 + 2^3072 - 2^1026 - 140

Теперь переведем полученное значение в двоичную систему счисления. После этого посчитаем количество значащих нулей.