1) Сложение десятичных чисел 32760 + 9 в 16-битной арифметике со знаком:
В 16-битной арифметике со знаком диапазон значений составляет от -32768 до 32767. Давайте сначала переведем числа 32760 и 9 в двоичную систему.
- 32760 в двоичной системе: 0111 1111 1000 1000
- 9 в двоичной системе: 0000 0000 0000 1001
Теперь выполним сложение этих чисел:
0111 1111 1000 1000
+ 0000 0000 0000 1001
---------------------
0111 1111 1001 0001
В результате получаем 0111 1111 1001 0001, что соответствует десятичному числу 32769. Однако, так как мы работаем в 16-битной арифметике со знаком, максимальное положительное значение, которое мы можем представить, это 32767.
Поскольку результат сложения 32760 и 9 превышает этот диапазон, происходит переполнение, и результат интерпретируется как отрицательное число. Чтобы определить это отрицательное число, нужно воспользоваться дополнительным кодом (two's complement).
Для этого вычтем 32769 из 65536 (так как это полный диапазон 16-битного числа):
65536 - 32769 = 32767
Но мы уже достигли границы положительных чисел, следовательно, результатом будет:
32767 - 32768 = -32767
Таким образом, результат сложения 32760 и 9 в 16-битной арифметике со знаком будет -32767.
2) Операция 127 + 3 в 8-разрядной арифметике со знаком:
В 8-разрядной арифметике со знаком диапазон значений составляет от -128 до 127. Переведем числа 127 и 3 в двоичную систему:
- 127 в двоичной системе: 0111 1111
- 3 в двоичной системе: 0000 0011
Теперь выполним сложение этих чисел:
0111 1111
+ 0000 0011
-----------
1000 0010
Результат 1000 0010 в двоичной системе — это отрицательное число в формате дополнительного кода. Чтобы узнать его значение, необходимо инвертировать все биты и прибавить 1:
Инверсия: 0111 1101
Прибавляем 1: 0111 1101 + 1 = 0111 1110
В десятичной системе это число равно 126. Так как старший бит (знак) равен 1, результат интерпретируется как отрицательное число -126.
Таким образом, результат операции 127 + 3 в 8-разрядной арифметике со знаком будет -126. Это произошло из-за переполнения, так как сумма превысила максимальное положительное значение 127.
3) Факториал в 16-разрядной целочисленной арифметике со знаком:
В 16-разрядной арифметике со знаком максимальное значение составляет 32767.
Посчитаем факториалы для последовательных чисел до тех пор, пока не превысим это значение:
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
Факториал 8! равен 40320, что превышает максимальное значение 32767. Следовательно, 7! = 5040 — это максимальный факториал, который можно вычислить в 16-разрядной арифметике со знаком без переполнения.
Теперь вычислим (n + 1)! для n = 7:
8! = 40320
Так как 40320 превышает 32767, результатом будет переполнение. Переполнение приводит к интерпретации результата как отрицательного числа в формате дополнительного кода.
Итак, максимальное значение n, для которого можно вычислить факториал в 16-разрядной целочисленной арифметике со знаком, равно 7. При вычислении (n + 1)!, где n = 7, произойдет переполнение, и результат будет некорректным.
