Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой...

Чтобы найти основание системы счисления, в которой десятичное число 59 соответствует числу 214, поступим следующим образом:

1. Пусть основание системы счисления равно ( b ). Тогда число 214 в этой системе счисления можно представить как: [ 214_b = 2 \cdot b^2 + 1 \cdot b + 4 ]

2. Преобразуем это выражение в десятичную систему: [ 2b^2 + b + 4 = 59 ]

3. Решим это квадратное уравнение относительно ( b ): [ 2b^2 + b + 4 = 59 ] [ 2b^2 + b + 4 - 59 = 0 ] [ 2b^2 + b - 55 = 0 ]

4. Воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений: [ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} ] где ( A = 2 ), ( B = 1 ), ( C = -55 ).

5. Подставим значения ( A ), ( B ) и ( C ) в формулу: [ b = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-55)}}{2 \cdot 2} ] [ b = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 440}}{4} ] [ b = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{4} ] [ b = \frac{-1 \pm 21}{4} ]

6. Рассмотрим два возможных решения: [ b = \frac{-1 + 21}{4} = \frac{20}{4} = 5 ] [ b = \frac{-1 - 21}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5 ]

Поскольку основание системы счисления должно быть положительным целым числом, единственно возможным значением является ( b = 5 ).

Проверим это решение: [ 214_5 = 2 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5 + 4 = 2 \cdot 25 + 5 + 4 = 50 + 5 + 4 = 59 ]

Таким образом, основание системы счисления, в которой десятичное число 59 соответствует числу 214, равно ( 5 ).

Для нахождения основания другой системы счисления, в которой десятичное число 59 эквивалентно числу 214, мы можем воспользоваться следующей формулой:

59 = 2 x^n + 1 x^(n-1) + 4 * x^(n-2)

Где x - основание системы счисления, n - количество разрядов в числе 214 в данной системе.

Преобразуем это выражение и найдем возможные значения x:

59 = 2 x^2 + 1 x + 4

Упростим:

2x^2 + x + 4 = 59

2x^2 + x - 55 = 0

Решая это уравнение, получаем два возможных значения основания системы счисления:

x = 5 или x = -5/2

Так как основание системы счисления не может быть отрицательным или дробным числом, то мы можем утверждать, что данное число 59 эквивалентно числу 214 в системе счисления с основанием 5.