Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 01, для буквы Б – кодовое слово 10. Какова наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов?
Для кодирования последовательности из пяти букв А, Б, В, Г, Д с помощью неравномерного двоичного кода, удовлетворяющего условию Фано, мы можем воспользоваться алгоритмом кодирования Хаффмана.
Для букв А и Б уже заданы кодовые слова 01 и 10 соответственно. Для оставшихся трех букв (В, Г, Д) мы можем построить оптимальное префиксное дерево Хаффмана, где будут наименьшие возможные суммарные длины всех пяти кодовых слов.
Для построения дерева Хаффмана мы начинаем с наименьших частот символов и объединяем их в узлы, увеличивая частоту для полученного узла. Продолжаем этот процесс, пока не получим один узел с частотой, равной сумме частот всех символов.
Таким образом, наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов будет равна длине пути от корня дерева Хаффмана до каждого листа, умноженной на частоту соответствующего символа.
Наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов равна 12 (2 бита для буквы А и 2 бита для буквы Б).
Для решения задачи о минимальной суммарной длине кодовых слов, удовлетворяющих условию Фано, нужно построить оптимальный префиксный код для пяти символов: А, Б, В, Г, Д. Условие Фано подразумевает, что ни одно кодовое слово не является префиксом другого.
У нас уже есть кодовые слова для двух символов:
Чтобы минимизировать суммарную длину кодовых слов, мы должны назначить оставшимся символам как можно более короткие кодовые слова. Однако мы должны учитывать, что каждое новое слово не может быть префиксом уже существующих и наоборот.
Поскольку у нас уже есть кодовые слова длины 2, добавим кодовые слова длины 3 для оставшихся символов. Выберем такие слова, которые не пересекаются с уже заданными кодовыми словами:
Проверим, что все эти кодовые слова являются префиксными:
Теперь найдем суммарную длину всех кодовых слов:
Суммарная длина всех кодовых слов: 2 + 2 + 3 + 3 + 2 = 12
Таким образом, наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов составляет 12.
