Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений:
а) (А => В) & (А v B)
б) (А <=> В) & (А & В) v (А & В)
на запятые не обращайте внимания
Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений:
а) (А => В) & (А v B)
б) (А <=> В) & (А & В) v (А & В)
на запятые не обращайте внимания
а) | A | B | (A => B) | (A v B) | (A => B) & (A v B) | |---|---|---------|---------|-------------------| | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
б) | A | B | (A B) | (A & B) | (A B) & (A & B) | |---|---|-----------|---------|---------------------| | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
а) Для доказательства равносильности выражений (А => В) & (A v B) нужно построить таблицы истинности для обоих выражений и убедиться, что значения столбцов истинности идентичны.
| A | B | (A => B) | (A v B) | (A => B) & (A v B) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | F |
Из таблицы видно, что значения столбцов совпадают для всех возможных комбинаций значений A и B, следовательно, выражения (A => B) & (A v B) равносильны.
б) Для доказательства равносильности выражений (A B) & (A & B) v (A & B) также построим таблицы истинности для обоих выражений и сравним их значения.
| A | B | (A B) | (A & B) | (A B) & (A & B) | (A & B) v (A & B) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | F | F |
| F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | F | F | F |
Из таблицы видно, что значения столбцов совпадают для всех возможных комбинаций значений A и B, следовательно, выражения (A B) & (A & B) v (A & B) также равносильны.
Для доказательства равносильности двух логических выражений с помощью таблиц истинности, рассмотрим каждое из них по отдельности и затем сравним их результаты.
а) ((A \rightarrow B) \& (A \vee B))
б) ((A \leftrightarrow B) \& (A \& B) \vee (A \& B))
Сначала разберём выражение (а) ((A \rightarrow B) \& (A \vee B)). Для этого нужно определить истинность составных частей.
| A | B | (A \rightarrow B) | (A \vee B) | ((A \rightarrow B) \& (A \vee B)) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Теперь разберём выражение (б) ((A \leftrightarrow B) \& (A \& B) \vee (A \& B)). Для этого нужно определить истинность составных частей.
| A | B | (A \leftrightarrow B) | (A \& B) | ((A \leftrightarrow B) \& (A \& B)) | ((A \& B)) | ((A \leftrightarrow B) \& (A \& B) \vee (A \& B)) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Теперь сравним заключительные столбцы обеих таблиц истинности.
| A | B | ((A \rightarrow B) \& (A \vee B)) | ((A \leftrightarrow B) \& (A \& B) \vee (A \& B)) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Из таблиц видно, что значения выражений ((A \rightarrow B) \& (A \vee B)) и ((A \leftrightarrow B) \& (A \& B) \vee (A \& B)) не совпадают для всех возможных комбинаций значений (A) и (B). Таким образом, эти логические выражения не являются равносильными.
