Как известно, игра в шахматы была придумана в Индии. Соглас­но старинной легенде, индусский царь, восхищённый...

Для решения этой задачи нам нужно просуммировать геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 1, а знаменатель равен 2. Таким образом, общее количество пшеничных зёрен будет равно:

1 + 2 + 4 + 8 + . + 2^63

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Подставляя значения, получаем:

S = 1 * (1 - 2^64) / (1 - 2) = 2^64 - 1

Таким образом, изобретатель должен был получить 2^64 - 1 пшеничных зёрен.

Чтобы рассчитать объем амбара для размещения этого зерна, нужно разделить общее количество зёрен на количество зёрен в кубическом метре. Получаем:

V = (2^64 - 1) / 15,000,000

Таким образом, размеры амбара для размещения всех пшеничных зёрен были бы равны V кубических метров.

Легенда о создании шахмат и просьбе изобретателя связана с экспоненциальным ростом числа зерен на каждой клетке доски. Для расчета общего количества зерен, которые должен получить изобретатель, необходимо воспользоваться принципом геометрической прогрессии.

1. Количество зерен на каждой клетке:

   • На первой клетке: 1 зерно.
   • На второй клетке: 2 зерна (вдвое больше, чем на предыдущей).
   • На третьей клетке: 4 зерна.
   • И так далее, до 64-й клетки.

2. Формула для количества зерен на n-й клетке: [ a_n = 2^{(n-1)} ] где (a_n) — количество зерен на n-й клетке.

3. Общее количество зерен: Чтобы найти общее количество зерен на всех 64 клетках, нужно сложить все члены этой прогрессии. [ S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + . + 2^{63} ] Эта сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии, и может быть вычислена по формуле: [ S = 2^{64} - 1 ]

4. Вычисление: [ S = 2^{64} - 1 = 18,446,744,073,709,551,615 ] То есть общее количество зерен, которое должен был бы получить изобретатель, составляет 18,446,744,073,709,551,615 зерен.

5. Размеры амбара: Если один кубический метр вмещает около 15 миллионов зерен, то объем зерна в кубических метрах можно рассчитать следующим образом: [ V = \frac{18,446,744,073,709,551,615}{15,000,000} \approx 1,229,782,938,247.3 ]

   Таким образом, для хранения всего этого зерна потребовалось бы приблизительно 1,229,782,938,247 кубических метров.

Эта задача иллюстрирует невероятный рост чисел при экспоненциальном увеличении, что и было продемонстрировано в этой легенде.