На числовой прямой даны три отрезка: P=[0,40], Q=[20,45] и R=[10,50]. Выберите такой отрезок А, что...

Для решения задачи мы должны понять, какой отрезок A удовлетворяет формуле:

((x ∈ P) ⇒ (x ∈ Q) ∨ ((x ∈ A) ⇒ (x ∉ R)))

Первым шагом, давайте проанализируем эту формулу. Импликация A ⇒ B истинна во всех случаях, кроме случая, когда A истинно, а B ложно. Также стоит вспомнить, что A ∨ B истинно, если хотя бы одно из условий A или B истинно.

Теперь рассмотрим отрезки:

• P = [0, 40]
• Q = [20, 45]
• R = [10, 50]

Рассмотрим часть формулы (x ∈ P) ⇒ (x ∈ Q). Это утверждение ложно, когда x принадлежит P, но не принадлежит Q. На числовой прямой это происходит для x ∈ [0, 19] и x ∈ [46, 40] (последний интервал не имеет смысла, так как 46 не принадлежит отрезку [0, 40]).

Итак, для x ∈ [0, 19], формула (x ∈ P) ⇒ (x ∈ Q) ложна. Чтобы вся формула осталась истинной, необходимо, чтобы правая часть ((x ∈ A) ⇒ (x ∉ R)) была истинной. Это будет истинно, если:

1. x не принадлежит A, или
2. x принадлежит A, но не принадлежит R.

Следовательно, отрезок A должен быть таким, чтобы для всех x ∈ [0, 19] вторая часть формулы была истинной. Посмотрим на предложенные отрезки:

1. [5, 20]
2. [10, 15]
3. [15, 20]
4. [35, 50]

• Для [5, 20], все x ∈ [5, 19] принадлежат A, но не принадлежат R (поскольку R начинается с 10). Таким образом, (x ∈ A) ⇒ (x ∉ R) верно для всех x ∈ [5, 19].
• Для [10, 15], все x ∈ [10, 15] принадлежат A и R одновременно, что нарушает условие (x ∈ A) ⇒ (x ∉ R).
• Для [15, 20], все x ∈ [15, 20] также принадлежат A и принадлежат R одновременно.
• Для [35, 50], это вообще не пересекается с интервалом [0, 19], поэтому не влияет на истинность формулы для этого диапазона.

Следовательно, единственно подходящий отрезок — [5, 20], так как он единственный, для которого (x ∈ A) ⇒ (x ∉ R) остаётся истинной для всех x ∈ [0, 19], где исходная импликация ложна.

Для того чтобы выбрать такой отрезок А, который удовлетворяет данной формуле, нужно рассмотреть каждый отрезок по отдельности.

1. Первое условие ((x∈P)⇒(x∈Q)): отрезок P=[0,40] является подмножеством отрезка Q=[20,45], так как P начинается раньше и заканчивается позже, чем Q.

2. Второе условие ((x∈A)⇒(x∉R)): чтобы это условие выполнилось, отрезок A должен быть таким, что его начальная точка находится левее начальной точки отрезка R и конечная точка находится правее конечной точки отрезка R.

Таким образом, подходящим отрезком А будет отрезок [5,20], так как он удовлетворяет обоим условиям.