Найдите количество информации которое содержит в себе следующее событие:Из урны в которой находятся...

Для того чтобы найти количество информации, которое содержит данное событие, нужно определить энтропию системы, которая измеряется в битах.

Энтропия $H$ для дискретной случайной величины $X$ определяется как:

$H(X)=-\sum _{i=1}^{n}P(x_i){\log }_{2}P(x_i)$

где $P(x_i$ ) — вероятность события $x_i$.

В нашем случае, событие состоит в том, что из урны извлекается один шар. В урне находятся 16 шаров: 4 черных, 8 синих, 2 красных и 2 зеленых. Соответственно, вероятности вытаскивания шара определенного цвета будут следующими:

• Вероятность вытаскивания черного шара $P(\text{черный}$ = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} )
• Вероятность вытаскивания синего шара $P(\text{синий}$ = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} )
• Вероятность вытаскивания красного шара $P(\text{красный}$ = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} )
• Вероятность вытаскивания зеленого шара $P(\text{зеленый}$ = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} )

Теперь подставим данные вероятности в формулу энтропии:

$H(X)=-(P(\text{черный}){\log }_{2}P(\text{черный})+P(\text{синий}){\log }_{2}P(\text{синий})+P(\text{красный}){\log }_{2}P(\text{красный})+P(\text{зеленый}){\log }_{2}P(\text{зеленый}))$

Подставим численные значения:

$H(X)=-(\frac{1}{4}{\log }_2\frac{1}{4}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{8}{\log }_2\frac{1}{8}+\frac{1}{8}{\log }_2\frac{1}{8})$

Вычислим логарифмы:

${\log }_2\frac{1}{4}=-2$ ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ ${\log }_2\frac{1}{8}=-3$

Подставим обратно:

$H(X)=-(\frac{1}{4}\cdot (-2)+\frac{1}{2}\cdot (-1)+\frac{1}{8}\cdot (-3)+\frac{1}{8}\cdot (-3))$

Выполним умножение:

$H(X)=-(-\frac{2}{4}-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}-\frac{3}{8})$

Сложим дроби:

$H(X)=-(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{6}{8})$ $H(X)=-(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{3}{4})$ $H(X)=-(-1-\frac{3}{4})$ $H(X)=-(-\frac{7}{4})$ $H(X)=\frac{7}{4}$

Таким образом, количество информации, которое содержит событие вытаскивания одного шара из урны, составляет $\frac{7}{4}$ бит, что равно $1.75$ бит.

Для определения количества информации, содержащейся в данном событии, мы можем воспользоваться формулой Шеннона.

Сначала определим вероятность вытянуть каждый цвет шара:

• P$черный$ = 4/16 = 0.25
• P$синий$ = 8/16 = 0.5
• P$красный$ = 2/16 = 0.125
• P$зеленый$ = 2/16 = 0.125

Теперь по формуле Шеннона найдем количество информации, содержащееся в событии: H = - $P(черный$ log2$P(черный$) + P$синий$ log2$P(синий$) + P$красный$ log2$P(красный$) + P$зеленый$ log2$P(зеленый$))

H = - (0.25 log2$0.25$ + 0.5 log2$0.5$ + 0.125 log2$0.125$ + 0.125 log2$0.125$)

H = - (0.25 $-2$ + 0.5 $-1$ + 0.125 $-3$ + 0.125 $-3$)

H = - $-0.5-0.5-0.375-0.375$

H = - $-1.75$

H = 1.75 бит

Таким образом, количество информации, содержащееся в событии вытаскивания одного шара из урны с 16 шарами различных цветов, равно 1.75 бит.