Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трёхзначна

Чтобы найти наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 является трехзначной, необходимо определить такое основание ( b ), при котором число ( n ) (в данном случае 30) будет представлено тремя цифрами.

Запись числа в любой системе счисления можно представить в виде суммы степеней основания системы счисления. Например, если число 30 представлено в системе счисления с основанием ( b ) тремя цифрами ( a_2a_1a_0 ), то это означает:

[ 30 = a_2 \cdot b^2 + a_1 \cdot b + a_0 ]

где ( a_2, a_1, a_0 ) — цифры в системе счисления с основанием ( b ), и они должны удовлетворять следующим условиям:

• ( 0 \leq a_0 < b )
• ( 0 \leq a_1 < b )
• ( 0 \leq a_2 < b )

Для того чтобы число было трехзначным, наибольшая разрядность должна быть задействована, то есть ( a_2 \neq 0 ).

Чтобы число 30 было трехзначным, нам нужно, чтобы наименьшее значение ( b ) удовлетворяло следующему неравенству:

[ b^2 \leq 30 < b^3 ]

Разберем это неравенство подробнее:

1. ( b^2 \leq 30 ): это означает, что ( b ) должно быть таким, чтобы квадрат основания был меньше или равен 30.
2. ( 30 < b^3 ): это означает, что куб основания должен быть больше 30.

Рассчитаем границы для ( b ):

1. ( b^2 \leq 30 ): [ b \leq \sqrt{30} \approx 5.477 ]

2. ( 30 < b^3 ): [ b > \sqrt[3]{30} \approx 3.107 ]

Таким образом, ( b ) должно лежать между 3.107 и 5.477. Наименьшее целое основание, соответствующее этим условиям, — 4.

Проверим:

• В системе счисления с основанием 4 число 30 записывается как ( 30 = 1 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 2 = 132_4 ). Таким образом, оно трехзначное.
• В системе счисления с основанием 3 число 30 не может быть трехзначным, так как ( 30 > 3^3 = 27 ).

Следовательно, наименьшее основание системы счисления, в которой число 30 будет трехзначным, равно 4.

Для того чтобы найти наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трёхзначна, мы можем воспользоваться формулой для определения количества цифр в числе в заданной системе счисления.

Пусть основание системы счисления равно n, тогда число 30 в этой системе будет записываться как 3n^2 + 0n + 0. Мы ищем наименьшее n, при котором это число трёхзначное.

Учитывая, что трёхзначное число имеет вид ab0 (где a и b - цифры), мы можем записать уравнение 3n^2 + 0n + 0 = 100a + 10b + 0.

Таким образом, мы получаем систему уравнений: 3n^2 = 100a 0 = 10b

Из второго уравнения следует, что b = 0. Подставляя это в первое уравнение, получаем 3n^2 = 100a. Учитывая, что a - цифра, n должно быть наименьшим возможным целым числом, при котором выполнено это равенство.

Рассмотрим возможные значения n:

• При n = 6: 3*6^2 = 108 ≠ 100a
• При n = 7: 3*7^2 = 147 ≠ 100a
• При n = 8: 3*8^2 = 192 = 100a (a = 6)

Таким образом, наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трёхзначна, равно 8.