ПРОШУ, УМОЛЯЮ Запись числа 68 В 10 системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры....

Для решения данной задачи нам необходимо использовать информацию о том, что запись числа 68 в данной системе счисления оканчивается на 2 и содержит 4 цифры.

Представим число 68 в виде разложения по основанию N: 6N^3 + 8N^2 = 2 (поскольку последняя цифра равна 2).

Также известно, что количество цифр в числе равно 4, следовательно, разбиение числа на разряды должно содержать 4 цифры: aN^3 + bN^2 + c*N + d, где a, b, c, d - цифры числа.

Теперь составим систему уравнений: 1) aN^3 + bN^2 + c*N + d = 68 2) d = 2 3) a, b, c, d - цифры числа 4) a, b, c, d < N

Так как нам известно, что число 68 в данной системе счисления оканчивается на 2 и содержит 4 цифры, то мы можем предположить, что основание системы счисления N равно 6, так как 66^3 + 86^2 = 68.

Таким образом, основание системы счисления N равно 6.

Для решения этой задачи необходимо перевести число 68 из десятичной системы в систему с основанием ( N ) таким образом, чтобы оно имело четыре цифры и оканчивалось на 2.

Запись числа в системе счисления с основанием ( N ) может быть представлена в общем виде:

[ a_3 \cdot N^3 + a_2 \cdot N^2 + a_1 \cdot N + a_0 = 68, ]

где ( a_3, a_2, a_1, a_0 ) — коэффициенты, соответствующие цифрам числа в новой системе счисления, и ( a_0 = 2 ), так как число должно оканчиваться на 2.

Нам нужно найти такое ( N ), чтобы число имело четыре цифры. Это означает, что ( N^3 ) должно быть больше 68, чтобы обеспечить наличие старшей (четвертой) цифры ( a_3 ).

Для числа 68, которое оканчивается на 2, уравнение примет вид:

[ a_3 \cdot N^3 + a_2 \cdot N^2 + a_1 \cdot N + 2 = 68. ]

Упрощая, получаем:

[ a_3 \cdot N^3 + a_2 \cdot N^2 + a_1 \cdot N = 66. ]

Теперь давайте попробуем подобрать основание ( N ).

1. Рассмотрим ( N = 4 ):

   [ N^3 = 4^3 = 64. ]

   Это подходит, так как ( 64 < 68 ).

   Теперь попробуем разложить 66:

   [ a_3 \cdot 64 + a_2 \cdot 16 + a_1 \cdot 4 + 2 = 68. ]

   Выразим ( a_3 ):

   [ a_3 \cdot 64 + a_2 \cdot 16 + a_1 \cdot 4 = 66. ]

   Попробуем ( a_3 = 1 ):

   [ 1 \cdot 64 + a_2 \cdot 16 + a_1 \cdot 4 = 66. ]

   Получаем:

   [ a_2 \cdot 16 + a_1 \cdot 4 = 2. ]

   Это невозможно, потому что ( a_2 ) и ( a_1 ) должны быть неотрицательными целыми числами.

2. Рассмотрим ( N = 5 ):

   [ N^3 = 5^3 = 125, ]

   что больше 68, поэтому это не подходит.

3. Рассмотрим ( N = 3 ):

   [ N^3 = 3^3 = 27, ]

   что меньше 68. Проверим:

   [ a_3 \cdot 27 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 + 2 = 68. ]

   Выразим ( a_3 ):

   [ a_3 \cdot 27 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 = 66. ]

   Попробуем ( a_3 = 2 ):

   [ 2 \cdot 27 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 = 66. ]

   Получаем:

   [ 54 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 = 66. ]

   [ a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 = 12. ]

   Попробуем ( a_2 = 1 ):

   [ 1 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 = 12. ]

   [ a_1 \cdot 3 = 3. ]

   [ a_1 = 1. ]

   Таким образом, число 68 в системе счисления с основанием 3 записывается как 2112, что соответствует условиям задачи.

Ответ: Основание системы счисления ( N = 3 ).