Сколькими способами можно распределить 12 экзаменационных вопросов между 6 студентами поровну ?

Для решения данной задачи используется комбинаторика. Мы имеем 12 вопросов, которые нужно распределить между 6 студентами поровну. Это означает, что каждому студенту будет доставаться по 2 вопроса.

Чтобы найти количество способов распределения вопросов, мы можем воспользоваться формулой сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Где n - общее количество элементов (в данном случае 12 вопросов), k - количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае 2 вопроса для каждого студента).

Таким образом, количество способов распределить 12 вопросов между 6 студентами поровну будет равно:

C(12, 2) C(10, 2) C(8, 2) C(6, 2) C(4, 2) C(2, 2) = 66 45 28 15 6 1 = 332640

Итак, существует 332640 способов распределить 12 экзаменационных вопросов между 6 студентами поровну.

Чтобы распределить 12 экзаменационных вопросов между 6 студентами поровну, каждому студенту должно достаться по 2 вопроса. Задача сводится к нахождению количества способов, которыми можно разбить набор из 12 вопросов на 6 непересекающихся подмножеств по 2 элемента в каждом.

Для решения этой задачи можно воспользоваться комбинаторикой, а именно, формулой для подсчета количества разбиений множества на подмножества фиксированного размера, также известной как задача о разбиении на пары.

1. Выбор первой пары вопросов: Из 12 вопросов выбираем 2, что можно сделать (\binom{12}{2}) способами.

2. Выбор второй пары вопросов: После выбора первой пары остаётся 10 вопросов. Из них выбираем 2, что можно сделать (\binom{10}{2}) способами.

3. Выбор третьей пары вопросов: После выбора второй пары остаётся 8 вопросов. Из них выбираем 2, что можно сделать (\binom{8}{2}) способами.

4. Выбор четвёртой пары вопросов: После выбора третьей пары остаётся 6 вопросов. Из них выбираем 2, что можно сделать (\binom{6}{2}) способами.

5. Выбор пятой пары вопросов: После выбора четвёртой пары остаётся 4 вопроса. Из них выбираем 2, что можно сделать (\binom{4}{2}) способами.

6. Выбор шестой пары вопросов: Оставшиеся 2 вопроса автоматически образуют последнюю пару.

Теперь вычислим количество способов для каждой пары:

• (\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66)
• (\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45)
• (\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28)
• (\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15)
• (\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6)
• (\binom{2}{2} = 1)

Перемножим все результаты, чтобы найти общее количество способов разбиения на пары:

[ 66 \times 45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 7484400 ]

Однако при этом каждый набор из 6 пар был подсчитан 6! раз, так как порядок следования пар не имеет значения. Поэтому нужно разделить полученный результат на (6!):

[ 6! = 720 ]

Итак, окончательное количество способов распределения вопросов равно:

[ \frac{7484400}{720} = 10395 ]

Таким образом, 12 экзаменационных вопросов можно распределить между 6 студентами поровну 10395 способами.