Сколько существует натуральных чисел меньших 25160, так что в записи каждого числа в двоичнмой системе...

Для решения этой задачи сначала нужно разобраться с тем, как представляются числа в двоичной системе счисления, и что означает условие "равное количество единиц и значащих нулей".

1. Представление чисел в двоичной системе:

   • В двоичной системе счисления каждое число представляется последовательностью битов (нулей и единиц).
   • "Значащие нули" — это нули, которые находятся между единицами или спереди числа после первой единицы (как в числе 1010 значащие нули — это два нуля между единицами).

2. Условие равенства количества единиц и значащих нулей:

   • Для числа, чтобы оно удовлетворяло условию, необходимо, чтобы количество единиц было равно количеству нулей, за исключением ведущих нулей.

3. Двоичная длина числа:

   • Рассмотрим числа меньшие 25160. Найдем максимальную длину двоичной записи числа, меньшего 25160.
   • Определим двоичное представление числа 25160: (25160{10} = 110001001100100{2}) (15 битов).

4. Формирование чисел с равным количеством единиц и значащих нулей:

   • Если число имеет (2n) битов, и в нем должно быть (n) единиц и (n) нулей. Например, для (n = 3): (000111, 001011, 001101, 010011, 010101, 011001, 011010, 011100, 100011, 100101, 101001, 101010, 110001, 110010, 110100).

5. Числа с равным количеством единиц и нулей в диапазоне до 15 битов:

   • Рассмотрим все возможные длины двоичных чисел, начиная с минимальной (например, 2 бита для (n = 1)) до максимальной (14 битов для (n = 7)).

6. Подсчет количества чисел:

   • Для (2n) битов, где (n) — количество единиц (и нулей), количество таких чисел можно найти по формуле биномиальных коэффициентов: (C(2n, n)).
   • Подсчитаем для возможных (n):
     • (n = 1): (C(2, 1) = 2)
     • (n = 2): (C(4, 2) = 6)
     • (n = 3): (C(6, 3) = 20)
     • (n = 4): (C(8, 4) = 70)
     • (n = 5): (C(10, 5) = 252)
     • (n = 6): (C(12, 6) = 924)
     • (n = 7): (C(14, 7) = 3432)

7. Итоговое количество чисел:

   • Суммируем все найденные количества: [ 2 + 6 + 20 + 70 + 252 + 924 + 3432 = 4706. ]

Таким образом, существует 4706 натуральных чисел, меньших 25160, у которых в записи в двоичной системе счисления равное количество единиц и значащих нулей.

Для решения данной задачи нам необходимо найти количество натуральных чисел, меньших 25160, у которых в двоичной записи количество единиц равно количеству значащих нулей.

Для начала заметим, что количество единиц и нулей в двоичной записи числа равно между собой только в том случае, если число имеет вид 2^n - 1, где n - натуральное число. Например, для n=1 получаем число 1 (в двоичной записи 01), для n=2 получаем число 3 (в двоичной записи 11), для n=3 получаем число 7 (в двоичной записи 111) и т.д.

Теперь найдем максимальное значение n, при котором 2^n - 1 < 25160. Решим неравенство: 2^n - 1 < 25160 2^n < 25161 n < log2(25161) ≈ 14.95

Таким образом, максимальное значение n равно 14. Теперь мы знаем, что количество натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи, будет равно количеству натуральных чисел от 1 до 2^14 - 1, то есть от 1 до 16383.

Итак, количество натуральных чисел, меньших 25160, у которых в двоичной записи количество единиц равно количеству значащих нулей, равно 16383.

В двоичной системе счисления число 25160 записывается как 110001001011000. Чтобы количество единиц и нулей было равным, необходимо, чтобы количество цифр в двоичной записи было четным. Поэтому количество таких натуральных чисел будет равно количеству четных чисел, меньших 25160. Для этого нужно разделить 25160 на 2 и округлить в меньшую сторону:

25160 / 2 = 12580

Таким образом, существует 12580 натуральных чисел меньших 25160, у которых в двоичной записи количество единиц и нулей равно.