Сколько существует различных последовательностей длинны 7 в трехбуквенном алфавите {A, B, C}, которые содержат ровно 5 букв А?
Сколько существует различных последовательностей длинны 7 в трехбуквенном алфавите {A, B, C}, которые содержат ровно 5 букв А?
Для того чтобы найти количество различных последовательностей длиной 7 в трехбуквенном алфавите ({A, B, C}), которые содержат ровно 5 букв (A), нужно провести соответствующие вычисления, используя комбинаторику.
Выбор позиций для букв (A): Сначала выберем 5 позиций из 7 для букв (A). Количество способов выбрать 5 позиций из 7 можно найти с помощью биномиального коэффициента (C(n, k)), который рассчитывается как: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] В нашем случае (n = 7) и (k = 5): [ C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5! \cdot 2 \times 1} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 ] Таким образом, существует 21 способ выбрать 5 позиций из 7 для букв (A).
Заполнение оставшихся позиций: Оставшиеся 2 позиции могут быть заполнены буквами (B) или (C). На каждую из двух оставшихся позиций есть 2 варианта (либо (B), либо (C)). Следовательно, количество способов заполнить эти 2 оставшиеся позиции: [ 2 \times 2 = 2^2 = 4 ]
Общее количество последовательностей: Теперь умножим количество способов выбрать позиции для (A) на количество способов заполнить оставшиеся позиции: [ 21 \times 4 = 84 ]
Таким образом, существует 84 различных последовательности длиной 7 в трехбуквенном алфавите ({A, B, C}), которые содержат ровно 5 букв (A).
Для решения этой задачи можно использовать сочетания с повторениями. В данном случае у нас есть алфавит из трех букв {A, B, C}, и мы хотим составить последовательность длиной 7, в которой 5 букв будут A.
Для начала определим, сколько способов можно выбрать пять позиций из семи для буквы A. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(7, 5) = 7! / (5! * 2!) = 21.
Теперь у нас осталось две позиции, которые нужно заполнить буквами B и C. Для каждой из этих позиций у нас есть два варианта (B или C). Таким образом, количество возможных комбинаций для заполнения двух оставшихся позиций равно 2 * 2 = 4.
Умножим количество способов выбрать пять позиций для A на количество способов заполнить оставшиеся две позиции для B и C, и получим общее количество различных последовательностей длиной 7 в трехбуквенном алфавите {A, B, C}, которые содержат ровно 5 букв A: 21 * 4 = 84.
Таким образом, существует 84 различных последовательностей длины 7 в трехбуквенном алфавите {A, B, C}, которые содержат ровно 5 букв A.
