Сколько существует различных символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D}, которые содержат не менее двух букв А?
Сколько существует различных символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D}, которые содержат не менее двух букв А?
Чтобы найти количество различных символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D}, которые содержат не менее двух букв А, можно подойти к решению задачи следующим образом:
Общее количество последовательностей: Сначала вычислим общее количество возможных последовательностей длины 6 в данном алфавите. Так как алфавит состоит из 4 букв, каждая позиция в последовательности может быть заполнена одной из 4 букв. Следовательно, общее количество последовательностей будет равно (4^6): [ 4^6 = 4096 ]
Последовательности с 0 или 1 буквой А: Далее нужно вычислить количество последовательностей, которые содержат 0 или 1 букву А, а затем вычесть это количество из общего числа последовательностей, чтобы получить количество последовательностей с не менее чем двумя буквами А.
Последовательности без буквы А: Если последовательность не содержит буквы А, то каждая из 6 позиций может быть заполнена только буквами В, С или D. Следовательно, количество таких последовательностей будет равно (3^6): [ 3^6 = 729 ]
Последовательности с одной буквой А: Чтобы найти количество последовательностей с ровно одной буквой А, нам нужно выбрать одну из 6 позиций для буквы А, а оставшиеся 5 позиций могут быть заполнены буквами В, С или D. Количество способов выбрать одну позицию из 6 для буквы А равно (\binom{6}{1} = 6). Для каждой из этих позиций оставшиеся 5 позиций могут быть заполнены 3 способами (буквами В, С или D): [ 6 \times 3^5 = 6 \times 243 = 1458 ]
Вычисление итогового количества: Теперь вычтем количество последовательностей с 0 или 1 буквой А из общего количества последовательностей, чтобы найти количество последовательностей с не менее чем двумя буквами А: [ 4096 - (729 + 1458) = 4096 - 2187 = 1909 ]
Таким образом, существует 1909 различных символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D}, которые содержат не менее двух букв А.
Для решения данной задачи можно воспользоваться методом комбинаторики.
Для начала посчитаем общее количество всех возможных символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D}. Так как у нас есть 4 буквы и длина последовательности равна 6, то общее количество таких последовательностей будет равно 4^6 = 4096.
Теперь посчитаем количество символьных последовательностей длины 6, которые не содержат букву "А". Так как у нас есть 3 оставшиеся буквы (В, С, D) и длина последовательности равна 6, то количество таких последовательностей будет равно 3^6 = 729.
Теперь найдем количество всех символьных последовательностей длины 6, которые содержат хотя бы одну букву "А". Для этого вычтем из общего количества всех последовательностей количество последовательностей, не содержащих букву "А": 4096 - 729 = 3367.
Наконец, посчитаем количество символьных последовательностей длины 6, которые содержат не менее двух букв "А". Для этого найдем количество последовательностей, содержащих ровно две буквы "А", ровно три буквы "А", ровно четыре буквы "А", ровно пять букв "А" и ровно все шесть букв "А", и сложим их.
Для каждого из этих случаев можно использовать сочетания. Например, для случая с двумя буквами "А" можно выбрать 2 позиции из 6 для букв "А" (C(6, 2)), а для каждой из оставшихся позиций использовать оставшиеся буквы (3 варианта). Получаем: C(6, 2) * 3^4 = 540.
Аналогично, для случая с тремя буквами "А" получаем: C(6, 3) 3^3 = 540; для четырех букв "А": C(6, 4) 3^2 = 90; для пяти букв "А": C(6, 5) 3^1 = 18; для всех шести букв "А": C(6, 6) 3^0 = 1.
Суммируя все эти результаты, получаем: 540 + 540 + 90 + 18 + 1 = 1189.
Итак, количество символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D}, которые содержат не менее двух букв "А", равно 1189.
Всего символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D} - 4^6 = 4096. Чтобы найти количество последовательностей с не менее чем двумя буквами А, нужно вычесть из общего числа последовательностей количество последовательностей без букв А и количество последовательностей с одной буквой А: 4^6 - 3^6 - 6*3^5 = 1864.
