В какой системе счисления выполнены следующие сложения 98+89=121

Для определения системы счисления, в которой выполнено сложение (98 + 89 = 121), давайте разберёмся по шагам.

1. Основные понятия:

Система счисления определяется основанием ( N ), где ( N ) — это количество различных цифр, используемых для записи чисел. Например:

• В десятичной системе ( N = 10 ), используемые цифры: ( 0, 1, 2, ., 9 ).
• В восьмеричной системе ( N = 8 ), используемые цифры: ( 0, 1, 2, ., 7 ).
• В двенадцатеричной системе ( N = 12 ), используются цифры ( 0, 1, 2, ., 9, A, B ) (где ( A = 10 ), ( B = 11 )).

2. Особенность сложения:

В задании указано ( 98 + 89 = 121 ). Это уравнение истинно только в определённой системе счисления. Чтобы найти основание системы счисления ( N ), нужно проверить, как числа интерпретируются в разных системах.

3. Представление чисел в системе счисления ( N ):

Числа в позиционных системах счисления можно представить в виде суммы разрядов:

• Число ( 98 ) в системе ( N ): ( 9 \cdot N + 8 ).
• Число ( 89 ) в системе ( N ): ( 8 \cdot N + 9 ).
• Число ( 121 ) в системе ( N ): ( 1 \cdot N^2 + 2 \cdot N + 1 ).

Подставляя эти выражения в уравнение ( 98 + 89 = 121 ), получаем: [ (9 \cdot N + 8) + (8 \cdot N + 9) = 1 \cdot N^2 + 2 \cdot N + 1 ]

4. Упростим уравнение:

Слева: [ 9 \cdot N + 8 + 8 \cdot N + 9 = 17 \cdot N + 17 ]

Справа: [ 1 \cdot N^2 + 2 \cdot N + 1 ]

Итоговое уравнение: [ 17 \cdot N + 17 = N^2 + 2 \cdot N + 1 ]

5. Приведём уравнение к стандартному виду:

[ N^2 + 2 \cdot N + 1 - 17 \cdot N - 17 = 0 ] [ N^2 - 15 \cdot N - 16 = 0 ]

6. Решим квадратное уравнение:

Используем формулу корней квадратного уравнения: [ N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Для уравнения ( N^2 - 15N - 16 = 0 ), коэффициенты: ( a = 1 ), ( b = -15 ), ( c = -16 ).

Подставляем: [ N = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} ] [ N = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} ] [ N = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} ] [ N = \frac{15 \pm 17}{2} ]

Два корня: [ N = \frac{15 + 17}{2} = 16 \quad \text{и} \quad N = \frac{15 - 17}{2} = -1 ]

7. Итог:

Основание системы счисления ( N ) не может быть отрицательным, поэтому ( N = 16 ).

Ответ:

Данное сложение ( 98 + 89 = 121 ) выполнено в шестнадцатеричной системе счисления (основание 16).

Чтобы определить, в какой системе счисления выполнено сложение (98 + 89 = 121), необходимо проанализировать каждое из чисел и результат.

1. Анализ чисел:

   • (98)
   • (89)
   • (121)

2. Предположение о системе счисления: Давайте обозначим основание системы счисления как (b). В данной системе счисления каждое из чисел представляется в виде:

   • (98_b = 9 \cdot b + 8)
   • (89_b = 8 \cdot b + 9)
   • (121_b = 1 \cdot b^2 + 2 \cdot b + 1)

3. Сложение: Теперь запишем уравнение для сложения: [ (9b + 8) + (8b + 9) = 1b^2 + 2b + 1 ]

   Упростим левую часть: [ 9b + 8 + 8b + 9 = 17b + 17 ]

   Теперь у нас есть уравнение: [ 17b + 17 = b^2 + 2b + 1 ]

4. Преобразование уравнения: Переносим все термины в одну сторону: [ b^2 + 2b + 1 - 17b - 17 = 0 ] [ b^2 - 15b - 16 = 0 ]

5. Решение квадратного уравнения: Теперь применим формулу нахождения корней квадратного уравнения: [ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} ] Здесь (A = 1), (B = -15), (C = -16): [ b = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} ] [ b = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} ] [ b = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} ] [ b = \frac{15 \pm 17}{2} ]

   Из этого уравнения получаем два значения: [ b_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

   Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, остаётся только (b = 16).

6. Проверка: Теперь проверим, действительно ли в 16-ричной системе счисления выполняется равенство:

   • (98_{16} = 9 \cdot 16 + 8 = 144 + 8 = 152)
   • (89_{16} = 8 \cdot 16 + 9 = 128 + 9 = 137)
   • Сложение: (152 + 137 = 289)
   • (121_{16} = 1 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16 + 1 = 256 + 32 + 1 = 289)

Таким образом, сложение (98 + 89 = 121) выполняется в 16-ричной системе счисления.