В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 41 и 63 заканчиваются на 8. Определите основание...

Чтобы определить основание системы счисления, в которой десятичные числа 41 и 63 заканчиваются на 8, нужно рассмотреть их представление в этой системе.

Пусть основание системы счисления равно ( b ). Тогда числа 41 и 63 в этой системе имеют следующие представления:

1. Число 41 в десятичной системе должно в новой системе счисления заканчиваться на 8. Это означает, что при делении 41 на ( b ), остаток должен быть равен 8. Запишем это как: [ 41 = qb + 8 ] где ( q ) — целое частное.

2. Аналогично, число 63 в новой системе также заканчивается на 8, то есть: [ 63 = pb + 8 ] где ( p ) — другое целое частное.

Теперь из этих уравнений выведем, что: [ 41 - 8 = qb \quad \Rightarrow \quad 33 = qb ] [ 63 - 8 = pb \quad \Rightarrow \quad 55 = pb ]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. ( 33 = qb )
2. ( 55 = pb )

Поскольку ( b ) должно быть одинаковым, мы можем выразить ( b ) из обоих уравнений: [ b = \frac{33}{q} = \frac{55}{p} ]

Чтобы найти подходящее ( b ), рассмотрим наибольший общий делитель (НОД) чисел 33 и 55. НОД(33, 55) = 11. Поэтому ( b ) может быть равно 11.

Давайте проверим:

• Для ( b = 11 ):
  • ( 41 \div 11 = 3 ) и остаток 8.
  • ( 63 \div 11 = 5 ) и остаток 8.

Обе записи чисел 41 и 63 действительно заканчиваются на 8 в системе с основанием 11.

Таким образом, основание системы счисления, в которой записи десятичных чисел 41 и 63 заканчиваются на 8, равно 11.

Для того чтобы определить основание системы счисления, в которой записи десятичных чисел 41 и 63 заканчиваются на 8, можно воспользоваться следующим методом.

Представим число 41 в произвольной системе счисления с основанием n в виде 41 = an n + 8, где an - это старшая цифра числа 41. Аналогично, число 63 можно представить в виде 63 = bn n + 8, где bn - это старшая цифра числа 63.

Таким образом, имеем систему уравнений: 41 = an n + 8 63 = bn n + 8

Вычитая второе уравнение из первого получаем: 41 - 63 = an n - bn n -22 = (an - bn) * n

Так как n является целым положительным числом, то n должно быть делителем числа 22. А так как 22 = 2 * 11, то возможные значения для n равны 2 и 11.

Подставив n = 2: 41 = an 2 + 8 63 = bn 2 + 8

Получаем, что система счисления с основанием 2 не подходит, так как в ней числа 41 и 63 не оканчиваются на 8.

Подставив n = 11: 41 = an 11 + 8 63 = bn 11 + 8

Получаем, что система счисления с основанием 11 подходит, так как в ней числа 41 и 63 заканчиваются на 8.

Итак, основание данной системы счисления равно 11.