В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 78 записывают в виде 303. Укажите это основание.

Чтобы найти основание системы счисления, в которой число 78 представляется как 303, нужно воспользоваться свойством представления чисел в системах счисления.

В общем случае, число ( n ) в системе счисления с основанием ( b ) записывается как:

[ n = ak \cdot b^k + a{k-1} \cdot b^{k-1} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0 ]

где ( a_i ) — это цифры числа (в нашем случае 3, 0 и 3).

Для числа 303 в основании ( b ) мы можем записать:

[ 303_b = 3 \cdot b^2 + 0 \cdot b^1 + 3 \cdot b^0 ]

Это упростится до:

[ 3b^2 + 0 + 3 = 3b^2 + 3 ]

Теперь мы знаем, что это выражение должно равняться 78:

[ 3b^2 + 3 = 78 ]

Теперь решим это уравнение:

1. Переносим 3 на правую сторону:

[ 3b^2 = 78 - 3 ] [ 3b^2 = 75 ]

1. Делим обе стороны на 3:

[ b^2 = 25 ]

1. Находим ( b ), извлекая квадратный корень:

[ b = 5 ]

Таким образом, основание системы счисления, в которой число 78 записывается как 303, равно 5.

Проверим: подставим ( b = 5 ) обратно в выражение:

[ 3 \cdot 5^2 + 3 = 3 \cdot 25 + 3 = 75 + 3 = 78 ]

Это подтверждает правильность нашего ответа. Таким образом, основание системы счисления равно 5.

Для нахождения основания системы счисления, где число 303 соответствует десятичному числу 78, нужно решить уравнение:

[ 3b^2 + 0b + 3 = 78 ]

где ( b ) — основание. Упростим уравнение:

[ 3b^2 + 3 = 78 ]

[ 3b^2 = 75 ]

[ b^2 = 25 ]

[ b = 5 ]

Таким образом, основание системы счисления равно 5.

Для решения задачи найдем основание системы счисления, в которой десятичное число 78 записывается как 303. Пусть основание системы счисления равно ( b ).

Что значит запись числа 303 в системе счисления с основанием ( b )?

Число ( 303_b ) в системе счисления с основанием ( b ) представляет собой сумму разрядов, где каждый разряд умножается на соответствующую степень основания ( b ). Формула для числа ( 303_b ) такова:

[ 303_b = 3 \cdot b^2 + 0 \cdot b^1 + 3 \cdot b^0 ]

Здесь:

• ( 3 \cdot b^2 ) — вклад старшего разряда (сотен),
• ( 0 \cdot b^1 ) — вклад среднего разряда (десятков),
• ( 3 \cdot b^0 ) — вклад младшего разряда (единиц).

Запишем это в виде уравнения:

[ 3b^2 + 0b + 3 = 78 ]

Или проще:

[ 3b^2 + 3 = 78 ]

Преобразуем уравнение

Сначала упростим его:

[ 3b^2 = 78 - 3 ]

[ 3b^2 = 75 ]

Разделим обе части на 3:

[ b^2 = 25 ]

Найдем ( b )

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

[ b = \sqrt{25} ]

[ b = 5 ]

Проверка

Теперь проверим, что при основании ( b = 5 ), десятичное число 78 действительно записывается как ( 303_5 ).

• Старший разряд: ( 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 ),
• Средний разряд: ( 0 \cdot 5^1 = 0 ),
• Младший разряд: ( 3 \cdot 5^0 = 3 ).

Суммируем: ( 75 + 0 + 3 = 78 ). Всё верно.

Ответ:

Основание системы счисления равно 5.