В системе счисления с некоторым основанием N число 78 записывается в виде 141N. Найдите это основание.

Чтобы найти основание ( N ) системы счисления, в которой число 78 записывается как ( 141_N ), нужно понять, как числа представляются в позиционных системах счисления.

Запись числа ( 141_N ) в системе счисления с основанием ( N ) означает, что: [ 141_N = 1 \cdot N^2 + 4 \cdot N^1 + 1 \cdot N^0 ]

Формально это выражается так: [ 1 \cdot N^2 + 4 \cdot N + 1 ]

Нам известно, что это число в десятичной системе равно 78. Поэтому мы можем составить уравнение: [ 1 \cdot N^2 + 4 \cdot N + 1 = 78 ]

Теперь решим это уравнение: [ N^2 + 4N + 1 = 78 ]

Переносим 78 в левую часть уравнения: [ N^2 + 4N + 1 - 78 = 0 ] [ N^2 + 4N - 77 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант ( D ) равен: [ D = b^2 - 4ac ] где ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = -77 ).

Вычислим дискриминант: [ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) ] [ D = 16 + 308 ] [ D = 324 ]

Теперь найдём корни уравнения, используя формулу: [ N = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения: [ N = \frac{-4 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} ] [ N = \frac{-4 \pm 18}{2} ]

Получаем два корня: [ N_1 = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7 ] [ N_2 = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11 ]

Поскольку основание системы счисления должно быть положительным целым числом, мы отбрасываем отрицательный корень. Таким образом, основание ( N ) равно 7.

Проверим: В системе счисления с основанием 7 число ( 141_7 ) действительно равно: [ 1 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7 + 1 = 1 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1 = 49 + 28 + 1 = 78 ]

Следовательно, основание ( N ) действительно равно 7.

Для того чтобы найти основание системы счисления, в которой число 78 записывается как 141N, нужно преобразовать это число из данной системы в десятичную систему счисления и найти основание, при котором получится число 78.

Для этого нужно умножить каждую цифру числа 141N на соответствующую степень основания и сложить результаты:

1 N^2 + 4 N^1 + 1 * N^0 = 78

N^2 + 4N + 1 = 78

N^2 + 4N - 77 = 0

После решения этого квадратного уравнения, мы найдем, что N = 7 или N = -11. Так как основание системы счисления не может быть отрицательным, то основание системы счисления, в которой число 78 записывается как 141N, равно 7.