В системе счисления с основанием N запись числа 79(10) оканчивается на 2, а запись числа 111(10) - на...

Чтобы определить основание системы счисления ( N ), в которой число 79 записывается так, что оно оканчивается на 2, а число 111 оканчивается на 1, необходимо рассмотреть условия задачи и воспользоваться свойствами систем счисления.

Запись числа в системе счисления с основанием ( N ) может быть представлена в виде: [ ak \cdot N^k + a{k-1} \cdot N^{k-1} + \ldots + a_1 \cdot N + a_0, ] где ( a_i ) — цифры в данной системе счисления, и ( a_0 ) — младшая цифра, то есть остаток от деления числа на ( N ).

Для числа 79(10):

1. Хвостовая цифра равна 2. Это означает, что при делении 79 на ( N ) остаток равен 2: [ 79 \equiv 2 \pmod{N} ] Следовательно, ( 79 = qN + 2 ), где ( q ) — целое число.

Для числа 111(10):

1. Хвостовая цифра равна 1. Это означает, что при делении 111 на ( N ) остаток равен 1: [ 111 \equiv 1 \pmod{N} ] Следовательно, ( 111 = pN + 1 ), где ( p ) — целое число.

Решение:

Из уравнений: [ 79 = qN + 2 ] [ 111 = pN + 1 ]

Выразим ( qN ) и ( pN ): [ qN = 79 - 2 = 77 ] [ pN = 111 - 1 = 110 ]

Так, ( N ) должно быть общим делителем для 77 и 110.

Теперь найдем НОД (наибольший общий делитель) чисел 77 и 110:

• Разложим на простые множители:
  • ( 77 = 7 \times 11 )
  • ( 110 = 2 \times 5 \times 11 )

Общий делитель — 11.

Проверим:

• ( 79 \div 11 = 7 ) остаток 2
• ( 111 \div 11 = 10 ) остаток 1

Таким образом, число ( N ) равно 11.

Для того чтобы найти основание системы счисления N, в которой число 79(10) оканчивается на 2 и число 111(10) оканчивается на 1, нужно разложить данные числа на суммы степеней N.

Представим число 79(10) в системе счисления с основанием N: 79 = a0 + a1N + a2N^2 + . + an*N^n где ai - цифры числа.

Так как число 79 оканчивается на 2, то a0 = 2. Также по условию a1 = 7, a2 = 9. Таким образом, мы получаем следующее уравнение: 2 + 7N + 9N^2 = 79

Аналогично представим число 111(10) в системе с основанием N: 111 = b0 + b1N + b2N^2 + . + bm*N^m

Так как число 111 оканчивается на 1, то b0 = 1. Также по условию b1 = 1, b2 = 1. Таким образом, мы получаем следующее уравнение: 1 + N + N^2 = 111

Решив систему уравнений, мы найдем, что основание системы счисления N = 10.