В соревнованиях по гимнастике участвуют: Аня, Валя, Таня и Даша. Болельщики строят прогнозы: 1) Таня...

Из условия известно, что каждое высказывание содержит только одно истинное утверждение и одно ложное. Посмотрим на каждое из предположений:

1) Таня займет I место, Валя - II:

• Если Таня занимает I место, то Валя не может занимать II место (ложное утверждение)

2) Таня займет II место, Даша - III:

• Если Таня занимает II место, то Даша не может занимать III место (ложное утверждение)

3) Аня займет II место, Даша - IV:

• Если Аня занимает II место, то Даша не может занимать IV место (ложное утверждение)

Таким образом, из каждого предположения вытекает, что одно из утверждений ложно. Значит, на самом деле:

• Таня занимает III место (по первому предположению)
• Валя занимает I место (по второму предположению)
• Аня занимает IV место (по третьему предположению)
• Даша занимает II место

Таким образом, результаты соревнований: 1 место - Валя 2 место - Даша 3 место - Таня 4 место - Аня

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем каждое из предположений и условия задачи.

1. Каждое предположение содержит два высказывания, одно из которых истинно, а другое ложно.
2. Нам нужно определить, какие места заняли Аня, Валя, Таня и Даша, чтобы все условия были выполнены.

Рассмотрим каждое предположение по очереди:

1) Таня займет I место, Валя - II. 2) Таня займет II место, Даша - III. 3) Аня займет II место, Даша - IV.

Шаг 1: Предположения и их анализ

• Предположение 1: Таня I, Валя II.
• Предположение 2: Таня II, Даша III.
• Предположение 3: Аня II, Даша IV.

Шаг 2: Изучение возможных сценариев

Пусть:

• ( P_1 ) - истинность первого высказывания первого предположения.
• ( Q_1 ) - истинность второго высказывания первого предположения.
• ( P_2 ) - истинность первого высказывания второго предположения.
• ( Q_2 ) - истинность второго высказывания второго предположения.
• ( P_3 ) - истинность первого высказывания третьего предположения.
• ( Q_3 ) - истинность второго высказывания третьего предположения.

Шаг 3: Использование условий

Из условия задачи мы знаем, что в каждом предположении одно высказывание истинное, а другое ложное. Это означает:

• ( P_1 \neq Q_1 )
• ( P_2 \neq Q_2 )
• ( P_3 \neq Q_3 )

Шаг 4: Построение логических выводов

Для предположения 1:

• ( P_1 ): Таня I место.
• ( Q_1 ): Валя II место.

Для предположения 2:

• ( P_2 ): Таня II место.
• ( Q_2 ): Даша III место.

Для предположения 3:

• ( P_3 ): Аня II место.
• ( Q_3 ): Даша IV место.

Шаг 5: Проверка всех возможных комбинаций

Пусть ( P_1 ) (Таня I место) истинно, тогда ( Q_1 ) (Валя II место) ложно. Значит, Валя не на II месте.

Для предположения 2: Если ( P_2 ) (Таня II место) ложно, то Таня не на II месте. Значит, ( Q_2 ) (Даша III место) истинно.

Для предположения 3: Если ( P_3 ) (Аня II место) ложно, то Аня не на II месте. Значит, ( Q_3 ) (Даша IV место) истинно.

Теперь у нас есть:

• Таня I место (из предположения 1).
• Валя не на II месте (из предположения 1).
• Даша III место (из предположения 2).
• Даша IV место (из предположения 3).

Шаг 6: Противоречия и исправления

Мы видим противоречие, так как Даша не может быть одновременно на III и IV местах. Следовательно, ( P_1 ) ложно, и ( Q_1 ) истинно:

• Валя II место.

Теперь рассмотрим: Для предположения 2: Если ( P_2 ) (Таня II место) ложно, то ( Q_2 ) (Даша III место) истинно.

Для предположения 3: Если ( P_3 ) (Аня II место) ложно, то ( Q_3 ) (Даша IV место) истинно.

Тогда:

• Даша IV место (из предположения 3).
• Валя II место (из предположения 1).
• Даша не на III месте (из предположения 2).

Шаг 7: Финальные результаты

Если Валя на II месте, и Даша на IV месте, тогда:

• Таня не на I месте (из ( P_1 ) ложно).
• Таня не на II месте (из ( P_2 ) ложно).
• Таня не на III месте (из ( Q_2 ) ложно).

Таким образом:

• Таня IV место (из ( Q_3 ) ложно).

Проверим:

• Если Таня не на III месте, и не на IV месте, значит она на I месте (из ( Q_1 ) ложно).

Итоговые результаты:

• Таня - I место.
• Валя - II место.
• Аня - III место.
• Даша - IV место.

Таким образом, результаты соревнований следующие:

1. Таня - I место.
2. Валя - II место.
3. Аня - III место.
4. Даша - IV место.

Результаты соревнований: 1 место - Даша 2 место - Таня 3 место - Аня 4 место - Валя