Запись числа 210(по 5-ричной СС) в некоторой системе счисления выглядит так: 313n. Найдите основание системы счисления n.
Запись числа 210(по 5-ричной СС) в некоторой системе счисления выглядит так: 313n. Найдите основание системы счисления n.
Для решения задачи прежде всего необходимо перевести число 210 из пятеричной системы счисления в десятичную. Запись числа 210 в пятеричной системе означает:
[ 2 \times 5^2 + 1 \times 5^1 + 0 \times 5^0 = 2 \times 25 + 1 \times 5 + 0 \times 1 = 50 + 5 + 0 = 55. ]
Теперь у нас есть число 55 в десятичной системе счисления. Следующий шаг — это выяснить, при каком основании n число 55 будет представлено как 313n в системе счисления с основанием n.
Запись 313n в системе счисления с основанием n можно расшифровать следующим образом: [ 3 \times n^2 + 1 \times n^1 + 3 \times n^0. ]
Тогда: [ 3n^2 + 1n + 3 = 55. ]
Теперь решим это квадратное уравнение относительно n: [ 3n^2 + n + 3 = 55, ] [ 3n^2 + n - 52 = 0. ]
Используем формулу для решения квадратных уравнений: [ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где a = 3, b = 1, c = -52.
[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 3 \times (-52)}}{2 \times 3}, ] [ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 624}}{6}, ] [ n = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{6}, ] [ n = \frac{-1 \pm 25}{6}. ]
Получаем два корня: [ n_1 = \frac{24}{6} = 4, ] [ n_2 = \frac{-26}{6} \approx -4.33. ]
Поскольку основание системы счисления должно быть положительным целым числом, выбираем n = 4. Таким образом, основание системы счисления, в которой число 210 по пятеричной системе счисления записывается как 313, равно 4.
Для решения данной задачи необходимо преобразовать число из пятеричной системы счисления в десятичную, а затем из десятичной в систему с неизвестным основанием n.
По определению, число 210 в пятеричной системе счисления можно представить как: 2 5^2 + 1 5^1 + 0 * 5^0 = 50 + 5 + 0 = 55
Теперь найдем основание системы счисления n, в которой число 55 будет представлено как 313: 3 n^2 + 1 n^1 + 3 * n^0 = 55
Уравнение: 3n^2 + n + 3 = 55
Приведем уравнение к стандартному виду и решим его: 3n^2 + n + 3 - 55 = 0 3n^2 + n - 52 = 0
Дискриминант D = 1^2 - 4 3 (-52) = 1 + 624 = 625
n = (-1 + √625) / 6 = (25 - 1) / 6 = 24 / 6 = 4
Таким образом, основание системы счисления n равно 4.
