Запись числа 325 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно...

Для того чтобы определить минимально возможное основание системы счисления ( N ), в которой число 325 записывается с тремя цифрами и оканчивается на 1, нужно выполнить несколько шагов.

1. Представим число 325 в системе счисления с основанием ( N ): [ 325_{10} = aN^2 + bN + c ] где ( a, b, c ) — цифры числа в системе счисления с основанием ( N ). Из условия известно, что число содержит три цифры и оканчивается на 1, значит ( c = 1 ).

2. Запишем число в общем виде: [ 325_{10} = aN^2 + bN + 1 ] где ( c = 1 ).

3. Учитываем, что ( a, b ) являются цифрами, а значит ( 0 \leq a < N ) и ( 0 \leq b < N ): Поскольку число 325 должно состоять из трёх цифр, ( a ) не может быть нулём, поэтому ( 1 \leq a < N ).

4. Определим диапазон оснований ( N ): Число 325 в десятичной системе должно быть больше или равно ( N^2 ) (для трёхзначного числа в системе с основанием ( N )): [ N^2 \leq 325 ] Взяв квадратный корень, получим: [ N \leq \sqrt{325} \approx 18.03 ] Поскольку ( N ) должно быть целым числом, ( N \leq 18 ).

5. Проверим минимальные значения ( N ) для выполнения условия конца на 1: Попробуем минимальное значение ( N ), которое удовлетворяет всем условиям: [ N = 6 ]

6. Проверим, может ли число 325 оканчиваться на 1 в системе с основанием 6: Представим 325 в системе с основанием 6: [ 325_{10} = a \cdot 6^2 + b \cdot 6 + 1 ] [ 325 = 36a + 6b + 1 ] Решим уравнение для ( a ) и ( b ): [ 325 - 1 = 36a + 6b ] [ 324 = 36a + 6b ] Разделим на 6: [ 54 = 6a + b ] Так как ( a ) и ( b ) — цифры, проверим, можем ли найти такие ( a ) и ( b ), чтобы ( b ) была цифрой (0-5): [ 54 - 6a = b ] Если ( a = 9 ): [ 54 - 6 \cdot 9 = 54 - 54 = 0 ] Мы видим, что ( b = 0 ) и ( a = 9 ), что не удовлетворяет условиям ( 1 \leq a < N ). Поэтому ( N = 6 ) не подходит.

Пробуем следующее значение: [ N = 7 ] [ 325 = a \cdot 7^2 + b \cdot 7 + 1 ] [ 325 - 1 = 49a + 7b ] [ 324 = 49a + 7b ] Разделим на 7: [ 46 = 7a + b ] [ b = 46 - 7a ] Проверим ( a = 6 ): [ 46 - 7 \cdot 6 = 46 - 42 = 4 ] Таким образом, ( a = 6 ), ( b = 4 ), ( c = 1 ).

Итак, число 325 в системе счисления с основанием 7 представляется как ( 641_7 ).

Таким образом, минимально возможное основание системы счисления, в которой число 325 записывается с тремя цифрами и оканчивается на 1, равно ( 7 ).

Минимально возможное основание системы счисления равно 6.

Пусть основание системы счисления равно N. Тогда число 325 записывается как 3N^2 + 2N + 5.

Учитывая условие задачи (запись числа содержит 3 цифры и оканчивается на 1), мы можем записать следующее: 3N^2 + 2N + 5 = 100a + 10b + 1, где a, b - натуральные числа.

Учитывая, что N - натуральное число, минимально возможное значение N можно найти, подставив N = 2, 3, 4, . и т.д. Легко убедиться, что минимально возможное значение N = 6.

Таким образом, минимально возможное основание системы счисления равно 6.