Запись числа 46 в 10 десятичной степени в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит...

Рассмотрим, что число 46 в десятичной системе счисления (46₁₀) в системе счисления с основанием ( N ) оканчивается на 1 и имеет три цифры. Это означает, что представление этого числа в системе счисления с основанием ( N ) имеет вид ( \overline{ab1}_N ), где ( a ) и ( b ) — цифры в этой системе счисления.

Запишем 46 в виде: [ 46 = a \cdot N^2 + b \cdot N + 1 ]

Так как ( a \cdot N^2 ) — наибольший вклад в это число, определим диапазон возможных значений ( N ). Поскольку число имеет три цифры, ( N^2 ) должно быть меньше 46, но больше 10, так как нам нужно три цифры в представлении числа. Таким образом, диапазон значений ( N ) будет: [ 3 \leq N \leq 6 ]

Теперь проверим каждое значение ( N ) из данного диапазона, чтобы найти подходящее основание, при котором выполняется условие задачи.

1. ( N = 3 ): [ 46 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 1 ] [ 46 = 9a + 3b + 1 ] [ 45 = 9a + 3b ] [ 15 = 3a + b ] Так как ( a ) и ( b ) должны быть цифрами, ( b ) не может быть равно 15 при ( a = 0 ), и ( a ) больше 1 тоже не подходит, так как ( b ) станет отрицательным или больше 3. Поэтому ( N = 3 ) не подходит.

2. ( N = 4 ): [ 46 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 1 ] [ 46 = 16a + 4b + 1 ] [ 45 = 16a + 4b ] [ 45 = 16a + 4b ] [ 11.25 = a + 0.25b ] Здесь ( a ) и ( b ) не могут быть целыми числами при ( N = 4 ), поэтому это основание тоже не подходит.

3. ( N = 5 ): [ 46 = a \cdot 5^2 + b \cdot 5 + 1 ] [ 46 = 25a + 5b + 1 ] [ 45 = 25a + 5b ] [ 9 = 5a + b ] Проверим целочисленные значения: При ( a = 1 ): [ 9 = 5 \cdot 1 + b ] [ 9 = 5 + b ] [ b = 4 ]

Мы получили ( a = 1 ) и ( b = 4 ), что соответствует условию трех цифр ( 141_5 ) в системе счисления с основанием 5, где представлено ( 1 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 1 = 46 ).

1. ( N = 6 ): [ 46 = a \cdot 6^2 + b \cdot 6 + 1 ] [ 46 = 36a + 6b + 1 ] [ 45 = 36a + 6b ] [ 7.5 = a + b ] Здесь ( a ) и ( b ) не могут быть целыми числами, так как ( b ) равно 7.5 при ( a = 0 ).

Таким образом, единственное подходящее основание ( N = 5 ).

Основание системы счисления N равно 5.

Для начала, давайте представим число 46 в виде суммы степеней основания N:

46 = aN^2 + bN + c

Где a, b и c - цифры, составляющие число 46 в системе счисления с основанием N.

Из условия известно, что число 46 оканчивается на 1 в системе счисления с основанием N. Это означает, что c = 1.

Также известно, что число содержит 3 цифры, что означает, что a ≠ 0.

Подставим известные значения в уравнение:

46 = aN^2 + bN + 1

Так как a, b и N - целые числа, мы можем представить число 46 как произведение двух целых чисел: a и (N^2 + b/N + 1/a).

Так как число 46 имеет только два делителя: 1 и само число, мы можем представить его в виде произведения двух целых чисел только одним способом: 1 46 или 2 23.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

46 = a(N^2 + b/N + 1/a)

Подставляем значения и получаем:

46 = 2(N^2 + b/N + 1/2)

Теперь мы видим, что N может принимать значение 6, так как только при N=6 выполняется условие.

Итак, основание системы счисления N равно 6.