Запись числа 67 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры.Укажите основание...

Для решения данной задачи нужно учесть два условия: число 67 в системе счисления с основанием ( n ) должно оканчиваться на 1 и содержать 4 цифры.

Поскольку число оканчивается на 1, это означает, что 67 при делении на ( n ) дает в остатке 1. При этом само число представляется в виде ( 67 = k \cdot n + 1 ), где ( k ) — это частное от деления 67 на ( n ).

Далее, чтобы число содержало ровно 4 цифры в системе счисления с основанием ( n ), число ( n^3 ) должно быть меньше или равно 67, а ( n^4 ) должно быть больше 67 (поскольку ( n^3 \leq 67 < n^4 )).

Давайте рассмотрим возможные значения ( n ):

1. Если ( n = 2 ), то ( 2^3 = 8 ) и ( 2^4 = 16 ), что меньше 67.
2. Если ( n = 3 ), то ( 3^3 = 27 ) и ( 3^4 = 81 ), что удовлетворяет условию ( 3^3 \leq 67 < 3^4 ).
3. Если ( n = 4 ), то ( 4^3 = 64 ) и ( 4^4 = 256 ), что также удовлетворяет условию ( 4^3 \leq 67 < 4^4 ).
4. Если ( n = 5 ) или больше, то ( 5^3 = 125 ), что уже больше 67.

Теперь проверим, дает ли ( n = 3 ) и ( n = 4 ) в остатке 1 при делении 67 на ( n ):

• ( 67 \div 3 = 22 ) с остатком 1, удовлетворяет условию.
• ( 67 \div 4 = 16 ) с остатком 3, не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственное подходящее основание системы счисления, где число 67 оканчивается на 1 и содержит 4 цифры, это ( n = 3 ).

Пусть запись числа 67 в системе счисления с основанием n имеет вид abcd, где a, b, c, d - цифры. Так как запись числа 67 оканчивается на 1, то d = 1. Также известно, что запись содержит 4 цифры, значит a, b, c - цифры от 0 до n-1. Таким образом, число 67 можно представить в виде уравнения: 67 = an^3 + bn^2 + cn + 1. Подставляя значения a, b, c и d в это уравнение, получаем: 67 = an^3 + bn^2 + cn + 1. Решая это уравнение, найдем значение основания n: n = 4. Таким образом, система счисления с основанием 4 удовлетворяет условию задачи.