значение арифметического выражения 9^8+3^24-18 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?
значение арифметического выражения 9^8+3^24-18 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?
Для решения данной задачи нужно найти значение выражения 9^8 + 3^24 - 18 и записать его в системе счисления с основанием 3. После этого нужно посчитать, сколько раз цифра 2 встречается в этой записи.
Для ответа на вопрос, начнем с вычисления значения арифметического выражения ( 9^8 + 3^{24} - 18 ).
Теперь рассмотрим слагаемое ( 3^{24} ), которое намного больше ( 3^{16} ) и ( 18 ), так что основной вклад в результат вносит ( 3^{24} ).
Переведем ( 3^{24} ) в систему счисления с основанием 3. Любое число, выраженное как ( 3^k ), в троичной системе счисления будет представлено как 1, за которым следует ( k ) нулей. Следовательно, ( 3^{24} ) в троичной системе будет записываться как ( 1 ) с 24 нулями после нее.
Теперь учтем остальные части выражения:
Сложим ( 3^{16} ) и ( 3^{24} ), а затем вычтем ( 18 ): [ 1000000000000000000000000 + 10000000000000000 - 200 ]
При вычитании ( 18 ) (или ( 200 ) в троичной системе) из суммы ( 3^{16} ) и ( 3^{24} ), мы просто изменяем последние три цифры нашего числа (за исключением случаев, когда нужно учитывать разряды выше из-за "заимствования" при вычитании). Результатом сложения будет число, почти идентичное ( 3^{24} ), но с изменениями в последних трех разрядах.
Так как ( 200 ) вычитается из суммы, последние три цифры изменятся, но количество двоек в результате будет совпадать с количеством двоек в записи числа ( 200 ) в системе с основанием 3, т.е. одна двойка.
Таким образом, в записи числа ( 9^8 + 3^{24} - 18 ) в системе счисления с основанием 3 содержится одна цифра 2.
Для начала найдем значение данного арифметического выражения:
9^8 + 3^24 - 18 = 43046721 + 282429536481 - 18 = 282472583084
Теперь переведем полученное число в систему счисления с основанием 3. Для этого разделим число на 3 до тех пор, пока результат деления не станет равным 0:
282472583084 : 3 = 94157527694 (остаток 2) 94157527694 : 3 = 31385842564 (остаток 2) 31385842564 : 3 = 10461947521 (остаток 1) 10461947521 : 3 = 3487315840 (остаток 1) 3487315840 : 3 = 1162438613 (остаток 1) 1162438613 : 3 = 387479538 (остаток 0) 387479538 : 3 = 129159846 (остаток 0) 129159846 : 3 = 43053282 (остаток 0) 43053282 : 3 = 14351094 (остаток 0) 14351094 : 3 = 4783698 (остаток 0) 4783698 : 3 = 1594566 (остаток 0) 1594566 : 3 = 531522 (остаток 0) 531522 : 3 = 177174 (остаток 0) 177174 : 3 = 59058 (остаток 0) 59058 : 3 = 19686 (остаток 0) 19686 : 3 = 6562 (остаток 0) 6562 : 3 = 2187 (остаток 1) 2187 : 3 = 729 (остаток 0) 729 : 3 = 243 (остаток 0) 243 : 3 = 81 (остаток 0) 81 : 3 = 27 (остаток 0) 27 : 3 = 9 (остаток 0) 9 : 3 = 3 (остаток 0) 3 : 3 = 1 (остаток 0) 1 : 3 = 0 (остаток 1)
Таким образом, число 282472583084 в системе счисления с основанием 3 будет записано как 1001101010100111101110111010000110. В этой записи содержится 5 цифр 2.
